Was ist ein Bruch? (Grundlagen)

In diesem Mathematik Blog-Eintrag erfÀhrst du, was ein Bruch ist.

Sicher hat du schon einmal gehört, dass man eine Pizza teilen kann. Du kannst sie in zwei, drei, vier, fĂŒnf, usw. Teile teilen, jenachdem wie groß die Pizzaschnitte werden soll. Je kleiner die einzelne Pizzaschnitte wird, in desto mehr Teile kannst du die ganze Pizza teilen.

Du kannst aber auch eine Torte auf verschiedene Personen aufteilen. Angenommen 6 Menschen wollen eine Torte essen und jeder will gleich viel davon haben. Dann muss man diese Torte in 6 gleich große Teile teilen.

Genau so kann man sich auch BrĂŒche (auch Bruchzahlen genannt) vorstellen. Ein Ganzes (Pizza, Torte, usw.) kann man in mehrere Teile teilen.

\( 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2}\)
Eine Pizza wird auf zwei Teile aufgteilt:
Ein Halb plus ein Halb sind zwei Halbe.

\(1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{3}\)
Eine Pizza wird auf drei Teile aufgteilt.
Ein Drittel plus ein Drittel plus ein Drittel sind drei Drittel.

\(1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4}\)
Eine Pizza wird auf vier Teile aufgteilt.
Ein Viertel plus ein Viertel plus ein Viertel plus ein Viertel
sind vier Viertel.

Das kann man so nun endlos weiter machen!
Alle Teile zusammen ergeben wieder ein Ganzes!

Der Bruch bzw. der Bruchterm

Ein Bruch - Ein Bruchterm
Oben befindet sich der ZĂ€hler, unten der Nenner und in der Mitte der Bruchstrich.
Alles zusammen nennt man einen Bruch bzw. Bruchterm.

Vielleicht hast du dich schon gefragt, wie man die Zahl oberhalb und die Zahl unterhalb des Strichs nennt.

Man nennt die Zahl oben den ZĂ€hler und die Zahl unten den Nenner. In der Mitte befindet sich der Bruchstrich.

Alles zusammen nennt man das einen Bruch bzw. Bruchterm.

Beispiel: \(\frac{1}{4}\)

In diesem Beispiel ist die Zahl 1 der ZĂ€hler, die Zahl 4 ist der Nenner und in der Mitte ist wieder ein Bruchstrich.

Bitte merken:

  • Ein Bruch teilt immer eine ganze Zahl in mehrere Bruchteile.
  • Es können aber auch nur einzelne Teile (Pizzaschnitten) von einem Ganzen (eine ganze Pizza) vorhanden sein.
  • Oben steht immer der ZĂ€hler
  • Unten steht immer der Nenner
  • In der Mitte befindet sich immer der Bruchstrich

Ausmultiplizieren von Termen mit einer Klammer in Mathematik

In diesem Artikel erfÀhrst du, wie du einen Term in dem eine Variable und eine Klammer mit weiteren Variablen ausmultiplizieren kannst.

Hier ein allgemeines Beispiel, damit du weißt, worum es geht:

\( a \cdot( x + d) = a \cdot x + a \cdot d\)

Wie man unschwer an diesem Beispiel erkennen kann, wird die Variable a mit der Variable x mulipliziert und die Variable d wird mit a multipliziert. Die zwei Podukte werden dann mit dem Plus zusammengefasst.

Hier noch ein paar weitere Beispiele, um das Ausmultiplizieren mit einer Klammer zu verdeutlichen:

\( 2a \cdot( 4a + 5b) = \\ = 2a \cdot 4a + 2a \cdot 5b = \\ = 8a^2 + 10ab\)

\( 20x \cdot( 4xa + 5xb) = \\ = 20x \cdot 4xa + 20x \cdot 5xb = \\= 80x^2a + 100x^2b\)

Das Ausmuliplizieren von Termen gehört zu den wichtigsten FĂ€higkeiten, die du in Mathematik können solltest! Daher: Üben, ĂŒben und nochmals ĂŒben! Mehr Beispiele solltest du in deinem SchulĂŒbungsheft oder in deinem Mathe-Buch finden!

Ausmultiplizieren von Termen mit einer Klammer - Allgemeine Formel
Ausmultiplizieren von Termen mit einer Klammer
Allgemeine Formel

Was bedeutet 2*π?

Sicher fragen sich die einen oder anderen, was es mit dem Namen dieser Webseite auf sich hat!

Pi als Kreiszahl (3,1415926…)

Der Ausdruck “2 mal π” (kurz 2π) kommt aus der Mathematik. Der griechische Buchstabe Pi (π) steht fĂŒr die Kreiszahl Pi. Sie ist als VerhĂ€ltnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert. Pi hat den VerhĂ€ltniswert 3,1415926… .

Pi als Winkel ( π =180°)

Viele wissen jedoch nicht, dass Pi (π) nicht nur eine Kreiszahl ist, sondern auch ein Winkel! Die Kreiszahl Pi entspricht nĂ€mlich genau einem Winkel von 180 Grad (also einem halben Kreis). Multipliziert man Pi nun mit dem Faktor zwei (also das Doppelte von Pi), so entspricht 2π einem vollen Winkel mit 360 Grad! Dies entspricht dem Winkel eines Kreises!

Hier das Ganze nochmal mathematisch:
π = 180°, 2 mal π = 2 mal 180° = 360°

Mehr zu diesem Thema findest du auch hier:

Kommaverschiebung – Einfach erklĂ€rt!

Das Komma in einer Zahl kann man mit Hilfe der Kommaverschiebung verÀndern. Dadurch Àndert sich auch die Zahl selbst!

Multiplizieren – Kommaverschiebung nach rechts – Zahl wird grĂ¶ĂŸer

Durch das Multiplizieren einer Zahl mit 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts! Die Anzahl der Nullen entsprechen den Stellen, um die das Komma nach rechts verschoben wird!

Beispiel: 1,22 mal 10 ist 12,2 ← Das Komma ist um eine Stelle nach rechts gewandert und die Zahl ist dadurch grĂ¶ĂŸer geworden!

  • Mal 10 → 1 Stelle nach rechts (Beispiel: 1,22 mal 10 ist 12,2)
  • Mal 100 → 2 Stellen nach rechts (Beispiel: 1,22 mal 100 ist 122,0)
  • Mal 1000 → 3 Stellen nach rechts (Beispiel: 1,22 mal 1000 ist 1220,0)

Dividieren – Kommaverschiebung nach links – Zahl wird kleiner

Durch die Division einer Zahl durch 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links! Die Anzahl der Nullen entsprechen den Stellen, um die das Komma nach links verschoben wird!

Beispiel: 143,2 dividiert durch 10 ist 14,32 ←Das Komma ist um eine Stelle nach links gewandert und die Zahl ist dadurch kleiner geworden!

  • Dividiert durch 10 → 1 Stelle nach links (Beispiel: 143,2 dividiert durch 10 ist 14,32)
  • Dividiert durch 100 → 2 Stellen nach links (Beispiel: 143,2 dividiert durch 100 ist 1,432)
  • Dividiert durch 1000 → 3 Stellen nach links (Beispiel: 143,2 dividiert durch 1000 ist 0,1432)

Den ganzen Artikel gibt es auch als pdf zum downloaden!

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BrĂŒche kĂŒrzen mit dem grĂ¶ĂŸten gemeinsamen Teiler (ggT)

Wusstet ihr, dass es einen Zusammenhang zwischen dem KĂŒrzen von BrĂŒchen und dem grĂ¶ĂŸten gemeinsamen Teiler (ggT) gibt? HĂ€?

Ja den gibt es!

Wenn ihr nĂ€mlich BrĂŒche kĂŒrzen könnt oder BrĂŒche erweitert, verwendet ihr dazu nĂ€mlich immer die berĂŒhmten Primzahlen und den grĂ¶ĂŸte gemeinsame Teiler (ggT)! Dieser besteht ja aus dem Produkt jener Primzahlen, die beide Bruchzahlen gemeinsam haben!

Was es nun aber genau damit auf sich hat erklÀrt euch Christian Spannagel anhand eines sehr praktischen und anschaulichen Beispiels:

BrĂŒche kĂŒrzen und der ggT (von Christian Spannagel)

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Was ist eine Variable? (Elementare Algebra)

Variablen gehören zu den Grundlagen der Mathematik. Das Teilgebiet, das sich speziell mit den Variablen und ihren Eigenschaften beschÀftigt ist die Elementare Algebra.

Was versteht man nun konkret unter einer Variable?

Kurz gesagt ist eine Variable ein sogenannter Platzhalter. Ein Platzhalter ist jemand oder etwas, der fĂŒr alles Mögliche stehen kann. In der Mathematik kann ein Platzhalter fĂŒr Zahlen, Buchstaben, ganze Terme oder was auch immer stehen.

Kurz gesagt: eine Variable ist ein Platzhalter fĂŒr einen anderen Mathematik Ausdruck!

Puhhh… das war jetzt etwas “theoretisch”! Nun kommt das Praktische daran: Stell dir vor, dass die Variable einer “Schachtel” entspricht in die du verschiedene GegenstĂ€nde ablegen kannst. Du kannst in diese Schachtel zum Beispiel Zahlen, Buchstaben, BrĂŒche, Rechnungen und noch vieles mehr hinein legen.

So eine Schachtel – Variable – kann zum Beispiel sein:

  • ein Buchstabe wie x, der zum Beispiel fĂŒr die Zahl 5 (x=5) steht
  • eine Klammer (…) in die wir einen mathematischen Ausdruck schreiben können wie (x+12)

Schauen wir uns mal ein kurzes Beispiel an: Nehmen wir die FlÀchenformel eines Quadrates:

\( A = a \cdot a\)

Der Buchstabe A steht hier fĂŒr die FlĂ€che eines Quadrates und das kleine a steht hier jeweils fĂŒr eine SeitenlĂ€nge des Quadrates. Das große A und die zwei kleinen a kann man sich hier jeweils als Schachteln/ Variablen vorstellen! Welche Zahlen wir fĂŒr a oder A einsetzen bleibt uns ĂŒberlassen.

Setzen wir fĂŒr a die Zahl 5 ein, dann wird aus dem großen A die Zahl 25. Setzen wir fĂŒr das kleine a die Zahl 10 ein, dann wird aus dem großen A die Zahl 100!

\( a \cdot a = A\)
\(5 \cdot 5 = 25\)
\( 10 \cdot 10 = 100\)

Wir können das kleine a auch durch Klammern ersetzen. Hier ein paar Beispiele: a = (4+9) oder a = (7+2x)

1) \( A = a \cdot a\)
2) \( A = (4+9) \cdot (4+9) = 13 \cdot 13 = 169\)

Bei 2) wurden die Klammern von (4+9) zu 13 aufgelöst!

1) \( A = a \cdot a\)
2) \( A = (7+2x) \cdot (7+2x) = (7+2x)^{2}\)
3) \( A = (7+2x) \cdot (7+2x) = \)
\( = 49 + 14x +14x +4x^2 = 49 + 28x +4x^2\)

Bei 2) wurden der Term \((7+2x) \cdot (7+2x)\) zu der Potenz \((7+2x)^{2}\) zusammengefasst!

Bei 3) wurde der Term \((7+2x) \cdot (7+2x)\) ausmultipliziert!

Alles klar?! Weißt du jetzt, was eine Varible ist? Wenn ja, dann freut es mich!


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